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高中数学中恒成立问题的解题方法和技巧

2020-01-15 13:20:22 教师·上 2020年11期

黄友祥

摘 要:在高考试卷题目中,恒成立问题占据重要地位,既用来考查学生对高中数学常识的掌握和理解情况,又是决定高考数学成绩的关键。对高中数学学习而言,学生掌握恒成立问题的解题方法和技巧,不仅可以有效提高学习能力,还能为今后的数学学习奠定扎实的基础。文章主要概述高中数学中相关恒成立问题,分析掌握其解题方法和技巧的意义,最后提出几点具体有效的解题方法和技巧。

关键词:高中数学;恒成立问题;解题方法;技巧

中图分类号:G633.6 文献标识码:A 收稿日期:2020-05-28 文章编号:1674-120X(2020)31-0044-02

一、高中数学中恒成立问题的概述

在高中数学常识体系中,恒成立问题是高中数学常识学习的重难点。在不等式中,恒成立问题不仅范围广,而且参数多,同时包含变量,通常情况下还与数列、函数等常识融合在一起,使得恒成立问题的难度增加。由此可见,恒成立问题并不是一般的数知识题,具有复杂的思维逻辑、灵活多变的特点,之所以在高考试卷中出现,是因为恒成立问题可以从多方面实现对学生的考查,了解学生对高中数学常识的掌握情况。在高考试卷中,恒成立问题主要以两种形式出现:第一,已知某不等式恒成立,求变量的取值范围;第二,证明不等式恒成立。

二、掌握恒成立问题的解题方法和技巧的意义

所谓恒成立问题,即在已知条件下,无论变量发生怎样的变化,都不会影响不等式成立。在高考试卷题目中,恒成立问题比较常见,且经常与函数问题合并在一起出现,加上函数常识本身就比较复杂、难度系数高,导致学生遇到此类问题无从下手。学生若能掌握一定的解题方法和技巧,不仅有利于加深对此类问题的理解,还能根据题目的条件和问题,选择最合适的解题方法。所以对高中数学学习而言,掌握多种解题方法和灵活的解题技巧十分重要。学生根据已经掌握的解题方法和技巧,选择合适的练习题,多加练习,再次面对此类问题必定能够轻车熟路。另外,高中数学相对初中而言,学习难度增加,导致大部分高中学生对数学产生畏惧心理,甚至是只要看到类似的题目就产生一种不会做的心理,所以消除畏惧心理前,必须拥有清晰的思路,此外还需要加强学生对数学的学习兴趣,这样才能从容面对各种数知识题。

三、高中数学中恒成立问题的解题方法和技巧

(一)构造函数法

解决不等式恒成立问题,可利用完全平方公式来求最值,首先可将题目中的不等式转化为简单的函数,利用构造法构建函数,把复杂的问题简单化,实现对恒成立问题的解答。接下来通过例题,用二次函数的图像和性质探讨不等式恒成立问题,已知题目中有两个变量时,必须选择最合适的参数和变量,然后对转化后的函数进行解方程,这样就可以将复杂的问题简单化。一般情况下都是将题目中已知范围的量作为变量,将求解中的取值范围作为参数进行解答。

例1:(1)已知不等式x2-2ax+1≥0在x∈[-2,1]上恒成立,求a的取值范围。

(2)已知不等式x2-2ax+1≥0在a∈[-2,1]上恒成立,求x的取值范围。

分析(1):先求出f(x)=x2-2ax+1的对称轴x=a,再进行讨论即可。

分析(2):令f(a)=x2-2ax+1=-2ax+x2+1,将其看成关于a的一次函数,再利用恒成立问题进行转化。

解(1):f(x)=x2-2ax+1,令其图像的对称轴为x=a,由不等式x2-2ax+1≥0在x∈[-2,1]上恒成立,

可得或

或。解得a=φ或1≤a<1或a=1,所以a的取值范围是1≤a<1。

解(2):令f(x)=x2-2ax+1=-2ax+x2+1,由不等式x2-2ax+1≥0在x∈[-2,1]上恒成立,可得

。解得x≥-2+或x≥-2-。

面对这类问题,大部分学生都是直接根据题目中的已知条件对不等式进行解答,这样很容易将简单的问题复杂化,如果能够转变解题思路,转变题目中的已知变量和参数,然后对不等式进行转化,就很容易求解。

(二)数形结合法

对函数不等式题目,解决这类题目最简单的方法就是利用函数的图像和代数式。数形结合思想和方法可以更好地解决函数不等式问题,先画图像,再分析题目中的条件,最后根据图像求解。

例2:已知函数f(x)=x2-2x2+x,y=g(x)的图像与y=|f(x)|的图像关于x轴对称,函数

,若关于x的不等式h(x)-kx≤0恒成立,求实数k的取值范围.

解:由f(x)=x3-2x2+x得f (x)=3x2-4x+1,由f (x)=0得x=或x=1,当x∈(-∞,)和(1,+∞)时,f(x)=x3-2x2+x为增函数,当x∈(,1)时,f(x)=x3-2x2+x为减函数,不等式h(x)-kx≤0恒成立,h(x)≤kx在R上恒成立。作出函数y=h(x)与y=kx的图像,如下图所示:

设y=kx与y=Inx相切于(x0,Inx),=,则切线方程为y-Inx0=(x-x0),代入(0,0)得-Inx0=-1,得x0=e,所以k=;由f(x)=x3-2x2+x得f (x)=3x2-4x+1,可得f (0)=1,即y=kx在原点处的切线的斜率为1,所以实数k的取值范围是[,1]。

在高中数学恒成立问题中,大部分题目都可以利用数形结合的方法进行解题,前提是必须充分了解题目,准确画出函数图像,然后结合函数与题目中的已知条件,找出其中的关系,这样才能有效解決这类问题,否则函数图像错误,就会导致接下来的解题错误,很难得出准确答案。

正确且简便的解题方法和技巧对高中数学恒成立问题而言,具有非常重要的意义,常见的解题方法和技巧除了构造函数、数形结合法,还有变量分离法,学生只有熟练掌握并加以运用,才能准确解答恒成立问题,最终提高数学学习能力。

参考文献:

[1]洪小银.高中数学恒成立问题方法解析[J].中学数学,2019(17):55-56.

[2]石彩霞,王树文,杨平,等.高中数学中一类恒成立问题的思考[J].高中数理化,2019(13):31-32.

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